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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Alpe d’Huez

Aufgabenstellung

Der in den französischen Alpen gelegene Ort Alpe d’Huez gehört zu den berühmtesten Etappenzielen der Tour de France. Der Anstieg von Le Bourg-d’Oisans hinauf nach Alpe d’Huez überwindet auf einer Streckenlänge von 13,8 km13{,}8~\mathrm{km} einen Höhenunterschied von 1090 m1090~\mathrm m. Der (bisherige) Rekord für diese Strecke liegt bei einer Fahrzeit von 36 Minuten und 40 Sekunden.

  1. Welcher mittleren Leistung entspricht dies, wenn das Fahrrad eine Masse von mR=8,2 kgm_\mathrm R = 8{,}2~\mathrm{kg} hat und für den Radfahrer eine Masse von mF=59 kgm_\mathrm F = 59~\mathrm{kg} angenommen wird?
  2. Angenommen, der Fahrer sei tatsächlich die gesamte Strecke über mit dieser mittleren Leistung unterwegs: mit welcher Geschwindigkeit absolviert er dabei einen Streckenabschnitt mit 8% Steigung?

Lösung Teil 1

Die (durchschnittliche) Leistung ist der Quotient aus verrichteter Arbeit und der dafür benötigten Zeit:

P=WΔt .P = \frac{W}{\Delta t} \, .

Bei der beschriebenen Bergfahrt wird Hubarbeit verrichtet, indem die Masse von Fahrrad und Fahrer um Δh=1090 m\Delta h = 1090~\mathrm m angehoben werden:

P=(mR+mF)gΔhΔt=326,6 W .P = \frac{(m_\mathrm R + m_\mathrm F)g\Delta h}{\Delta t} = 326{,}6~\mathrm W \, .

Lösung Teil 2

Da sich diese Fragestellung auf einen einzelnen Abschnitt des Anstiegs bezieht, muss die Berechnung anhand der Formel für die momentane Leistung erfolgen:

P=dWdt=F⃗⋅ds⃗dt=F⃗⋅v⃗ .P = \frac{\mathrm dW}{\mathrm dt} = \frac{\vec F \cdot \mathrm d \vec s}{\mathrm d t} = \vec F \cdot \vec v \, .

Die momentane Leistung ist also das Produkt aus Kraft und (Momentan- ) Geschwindigkeit. Da im Fall dieser Aufgabenstellung davon ausgegangen werden kann, dass die Kraft stets parallel zur Bewegungsrichtung ausgeübt wird, kann auf das Skalarprodukt verzichtet werden:

P=Fv .P = Fv \, .

Solange keine Beschleunigung erfolgt, ist bei der Bergfahrt lediglich die Hangabtriebskraft von Fahrrad und Fahrer aufzubringen:

F=FH=(mR+mF)gsin⁡α .F = F_\mathrm H = (m_\mathrm R + m_\mathrm F)g \sin\alpha \, .

Der Steigungswinkel α\alpha ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Steigung SS:

α=arctan⁡S .\alpha = \arctan S \, .

Mit der in Teilaufgabe 1 berechneten Leistung ergibt sich damit für die Geschwindigkeit

v=PF=(mR+mF)gΔhΔt(mR+mF)gsin⁡(arctan⁡S)=ΔhΔtsin⁡(arctan⁡S)=6,2 ms .\begin{aligned} v & = \frac{P}{F} \\ & = \frac{(m_\mathrm R + m_\mathrm F)g\Delta h}{\Delta t (m_\mathrm R + m_\mathrm F)g\sin(\arctan S)} \\ & = \frac{\Delta h}{\Delta t \sin(\arctan S)} \\ & = 6{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, . \end{aligned}