Alpe d’Huez
Aufgabenstellung
Der in den französischen Alpen gelegene Ort Alpe d’Huez gehört zu den berühmtesten Etappenzielen der Tour de France. Der Anstieg von Le Bourg-d’Oisans hinauf nach Alpe d’Huez überwindet auf einer Streckenlänge von 13{,}8~\mathrm{km} einen Höhenunterschied von 1090~\mathrm m. Der (bisherige) Rekord für diese Strecke liegt bei einer Fahrzeit von 36 Minuten und 40 Sekunden.
- Welcher mittleren Leistung entspricht dies, wenn das Fahrrad eine Masse von m_\mathrm R = 8{,}2~\mathrm{kg} hat und für den Radfahrer eine Masse von m_\mathrm F = 59~\mathrm{kg} angenommen wird?
- Angenommen, der Fahrer sei tatsächlich die gesamte Strecke über mit dieser mittleren Leistung unterwegs: mit welcher Geschwindigkeit absolviert er dabei einen Streckenabschnitt mit 8% Steigung?
Lösung Teil 1
Die (durchschnittliche) Leistung ist der Quotient aus verrichteter Arbeit und der dafür benötigten Zeit:
P = \frac{W}{\Delta t} \, .
Bei der beschriebenen Bergfahrt wird Hubarbeit verrichtet, indem die Masse von Fahrrad und Fahrer um \Delta h = 1090~\mathrm m angehoben werden:
P = \frac{(m_\mathrm R + m_\mathrm F)g\Delta h}{\Delta t} = 326{,}6~\mathrm W \, .
Lösung Teil 2
Da sich diese Fragestellung auf einen einzelnen Abschnitt des Anstiegs bezieht, muss die Berechnung anhand der Formel für die momentane Leistung erfolgen:
P = \frac{\mathrm dW}{\mathrm dt} = \frac{\vec F \cdot \mathrm d \vec s}{\mathrm d t} = \vec F \cdot \vec v \, .
Die momentane Leistung ist also das Produkt aus Kraft und (Momentan- ) Geschwindigkeit. Da im Fall dieser Aufgabenstellung davon ausgegangen werden kann, dass die Kraft stets parallel zur Bewegungsrichtung ausgeübt wird, kann auf das Skalarprodukt verzichtet werden:
P = Fv \, .
Solange keine Beschleunigung erfolgt, ist bei der Bergfahrt lediglich die Hangabtriebskraft von Fahrrad und Fahrer aufzubringen:
F = F_\mathrm H = (m_\mathrm R + m_\mathrm F)g \sin\alpha \, .
Der Steigungswinkel \alpha ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Steigung S:
\alpha = \arctan S \, .
Mit der in Teilaufgabe 1 berechneten Leistung ergibt sich damit für die Geschwindigkeit
\begin{aligned} v & = \frac{P}{F} \\ & = \frac{(m_\mathrm R + m_\mathrm F)g\Delta h}{\Delta t (m_\mathrm R + m_\mathrm F)g\sin(\arctan S)} \\ & = \frac{\Delta h}{\Delta t \sin(\arctan S)} \\ & = 6{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, . \end{aligned}