Achterbahn mit Katapultstart II
Aufgabenstellung
Der Zug einer Achterbahn werde bei einem sogenannten Katapultstart auf einer horizontalen Beschleunigungsstrecke auf eine Endgeschwindigkeit von v_\mathrm e = 100~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} beschleunigt. Das Antriebssystem übt dabei eine Kraft von F = 80~\mathrm{kN} auf den Achterbahnzug aus, der eine Masse von m = 7{,}5~\mathrm{t} besitzt.
- Wie lang muss die Beschleunigungsstrecke sein?
- Geben Sie die Beschleunigung des Achterbahnzugs im \frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} sowie in Vielfachen der Fallbeschleunigung an.
Lösung Teil 1
Da das Antriebssystem eine konstante Kraft ausübt, liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Ohne Anfangsgeschwindigkeit (der Zug startet aus dem Stillstand) und ohne Anfangsweg (die Bewegung beginnt am Anfang der Beschleunigungsstrecke) gilt:
s(t) = \frac{a}{2}t^2 \, .
Da die Zeit in dieser Formel unbekannt ist, muss sie durch die gegebenen Größen ersetzt werden. Hierfür dient das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (wiederum ohne Anfangsgeschwindigkeit):
v(t) = at \, .
Nach der Beschleunigungsdauer t_\mathrm B ist die gegebene Endgeschwindigkeit v_\mathrm e erreicht:
v_\mathrm e = at_\mathrm B \, .
Für die Beschleunigungsdauer bedeutet das:
t_\mathrm B = \frac{v_\mathrm e}{a} \, .
Eingesetzt in das Weg-Zeit-Gesetz ergibt sich:
s = \frac{a}{2}t^2 = \frac{a}{2}\frac{v_\mathrm e ^2}{a^2} = \frac{v_\mathrm e^2}{2a} \, .
Die Beschleunigung kann über das Newtonsche Grundgesetz der Mechanik ausgedrückt werden:
a=\frac{F}{m} \, .
Somit lässt sich die Beschleunigungsstrecke berechnen:
s = \frac{mv_\mathrm e^2}{2F} = 36{,}17~\mathrm m \, .
Lösung Teil 2
Wie in Teil 1 bereits benutzt, kann die Beschleunigung anhand des Newtonschen Grundgesetzes bestimmt werden:
a = \frac{F}{m} = 10{,}7~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .
Dividiert durch den Betrag der Fallbeschleunigung g=9{,}81~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} ergibt sich:
a = 1{,}1~g \, .