Achterbahn
Aufgabenstellung
Bei einer Achterbahn werden die Wagen zu Beginn der Fahrt durch einen Kettenaufzug auf den ersten (und höchsten) Berg der Strecke befördert und rollen danach die gesamte Strecke ohne weiteren Antrieb. Für die folgenden Aufgaben wird eine Achterbahn betrachtet, deren Wagen eine Masse von jeweils 2{,}7~\mathrm t besitzen. Der erste Berg besitzt eine Höhe von 32~\mathrm m über dem Boden. Der Bahnhof befindet sich auf Höhe des Erdbodens.
- Nach der Abfahrt vom ersten Berg rollt der Wagen einen weiteren Anstieg hinauf, auf dessen Scheitelpunkt er eine Geschwindigkeit von 4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} besitzt. Wie hoch ist dieser zweite Berg maximal?
- Das Antriebssystem des Kettenaufzugs hat eine maximale Leistung von 50~\mathrm{kW} und soll den Wagen mit einer Geschwindigkeit von 2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} befördern. Welche Neigung darf der Aufzug dabei maximal aufweisen? (Angabe als Neigungswinkel oder Prozentwert)
- Am Ende der Bahn wird der Wagen vor Einfahrt in den Bahnhof durch ein in die Schiene integriertes Bremssystem auf eine Geschwindigkeit von 1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} abgebremst. Die Bremsen üben dabei eine konstante Kraft von 45~\mathrm{kN} aus. Dieser Bremsvorgang dauert 1{,}2~\mathrm s. Berechnen Sie die durch dissipative Vorgänge auf der Strecke bis zum Erreichen der Schlussbremse verlorene mechanische Energie des Wagens.
Lösung Teil 1
Betrachtet wird die mechanische Energie des Wagens auf dem ersten und zweiten Berg der Strecke. Es wird davon ausgegangen, dass der Wagen seine Abfahrt vom ersten Berg aus dem Stillstand beginnt. Seine kinetische an dieser Stelle ist folglich Null und es gilt für den ersten Berg:
E_1 = mgh_1 \, .
Auf dem zweiten Berg gilt:
E_2 = mgh_2 + \frac{m}{2} v_2^2 \, .
Da nach der maximal denkbaren Höhe des zweiten Bergs gefragt ist, werden Reibungsverluste vernachlässigt und es wird angesetzt:
\begin{aligned} E_1 & = E_2 \\ mgh_1 & = mgh_2 + \frac{m}{2} v_2^2 \, . \end{aligned}
Umgestellt nach der gesuchten Höhe h_2 ergibt sich:
\begin{aligned} h_2 & = h_1 - \frac{v_2^2}{2g} \\ & = 31{,}2~\mathrm m \, . \end{aligned}
Lösung Teil 2
Für die mechanische Leistung gilt allgemein:
P = Fv \, .
Die Kraft, die der Kettenaufzug hier aufbringen muss, entspricht der Hangabtriebskraft:
F = F_\mathrm H = mg\sin\alpha \, .
Für die Leistung bedeutet das:
P = mgv\sin\alpha \, .
Dies wird nach dem Winkel \alpha umgestellt:
\begin{aligned} \sin\alpha & = \frac{P}{mgv} \\ \alpha & = \arcsin\left( \frac{P}{mgv} \right) \, . \end{aligned}
Der maximale Anstiegswinkel ergibt sich, wenn in diese Formel die Maximalleistung eingesetzt wird:
\alpha_\mathrm{max} = \arcsin\left( \frac{P_\mathrm{max}}{mgv} \right) = 70{,}7° \, .
Soll der Anstieg nicht als Winkel, sondern als Prozentwert S angegeben werden, so muss der Tangens des Anstiegswinkels berechnet werden:
S_\mathrm{max} = \tan\alpha_\mathrm{max}\cdot 100\% = \tan\left[ \arcsin\left( \frac{P_\mathrm{max}}{mgv} \right) \right] \cdot 100\% = 286\% \, .
Lösung Teil 3
Durch dissipative Vorgänge ist die mechanische Energie am eines Vorgangs (hier konkret: am Ende der Achterbahnfahrt) kleiner als zu Beginn. Der Betrag der dissipierten Energie ergibt sich als Differenz zwischen Anfangs- und Endwert der mechanischen Energie:
E_\mathrm{Diss} = E_\mathrm{Anfang} - E_\mathrm{Ende} \, .
Dabei ist
E_\mathrm{Anfang} = E_1 = mgh_1
und
E_\mathrm{Ende} = \frac{m}{2}v_\mathrm{Ende}^2 \, ,
wobei v_\mathrm{Ende} die Geschwindigkeit am Ende der Strecke vor der in der Aufgabenstellung beschriebenen Schlussbremse bezeichnet. Gegeben ist jedoch nur die Geschwindigkeit v_\mathrm B, mit der der Wagen nach der Schlussbremse in den Bahnhof einfährt. Zur Bestimmung von v_\mathrm{Ende} wird der durch die Schlussbremse auf den Wagen ausgeübte Kraftstoß betrachtet. Bei konstanter Kraft (und konstanter Masse) gilt:
F_\mathrm{Br} t_\mathrm{Br} = m\Delta v \, ,
beziehungsweise
\Delta v = \frac{F_\mathrm{Br}t_\mathrm{Br}}{m} \, .
Das bedeutet für die Geschwindigkeit unmittelbar vor der Schlussbremse:
\begin{aligned} v_\mathrm{Ende} & = v_\mathrm B + \Delta v \\ & = v_\mathrm B + \frac{F_\mathrm{Br}t_\mathrm{Br}}{m} \, . \end{aligned}
Dies wird in die Formel für die dissipierte Energie eingesetzt:
E_\mathrm{Diss} = mgh_1 - \frac{m}{2}\left( v_\mathrm B + \frac{F_\mathrm{Br}t_\mathrm{Br}}{m} \right)^2 = 252~\mathrm{kJ} \, .