Abfahrtslauf
Aufgabenstellung
Bei alpinen Skiwettbewerben werden an verschiedenen Stellen der Strecke Zeit- und Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt. Bei einem Abfahrtslauf ergab eine solche Messung, dass ein Läufer 5{,}27~\mathrm s nach dem Start eine Geschwindigkeit von 83{,}4~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} besaß. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Beschleunigung während dieser ersten Sekunden des Rennens gleichmäßig erfolgte.
- Welchen Betrag hat die Beschleunigung bei dem oben beschriebenen Fahrer?
- Welche Strecke legt der Fahrer während dieses Zeitintervalls zurück?
Lösung Teil 1
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig bechleunigten Bewegung lautet
v(t) = at + v_0 \, .
Bei Start aus dem Stillstand (v_0 = 0) folgt für die Beschleunigung
a = \frac{v_\mathrm{end}}{t_\mathrm B} \, ,
wobei v_\mathrm{end} die in der Beschleunigungszeit t_\mathrm B erreichte Endgeschwindigkeit bezeichnet. Mit den gegebenen Zahlenwerten folgt
a = 4{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .
Lösung Teil 2
Da eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angenommen wird, gilt das entsprechende Weg-Zeit-Gesetz:
s(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + s_0 \, .
Entsprechend der Aufgabenstellung gilt v_0 = 0 und s_0 = 0. Für die Beschleunigung wird der Zusammenhang $a = \frac{v_\mathrm{end}}{t_\mathrm B} aus der ersten Teilaufgabe eingesetzt:
s_\mathrm B = \frac{1}{2}\frac{v_\mathrm{end}}{t_\mathrm B} t_\mathrm B^2 = \frac{1}{2}v_\mathrm{end}t_\mathrm B = 61{,}04~\mathrm m \, .