Statistik mit 3 Zahlenspeichern

Wie rechnet der DDR-Taschenrechner MR610 im Statistik-Modus?

Für die Berechnung der Summe der Fehlerquadrate, der Varianz und der Standardabweichung sind folgende Summenformeln geläufig:

(Arithmetischer) Mittelwert M = (∑ x_i) / N
Summe der Fehlerquadrate SFQ = ∑ (x_i-M)²
Varianz V = σ_n = √SFQ / N (Nur für N>0)
Standardabweichung STA = σ_n-1 = √SFQ / (N-1) (Nur für N>1)

Varianz und Standardabweichung ergeben sich also aus der Summe der Fehlerquadrate SFQ, aber weil sich der Mittelwert M bei jeder weiteren Werteingabe ändert, ändert sich auch SFQ.

Und dennoch, es genügt, für beliebig lange Zahlenkolonnen 3 Zahlen zu speichern, auf Grundlage des Verschiebungssatzes:

N (Anzahl der Daten)
S = ∑ x_i (Summe der Daten)
SQ = ∑ x_i² (Summe der Quadrate)

Die Rechenoperationen bei Hinzufügen (Taste DATA, DATA+):


N++
S += D
SQ += D²

Die Rechenoperationen beim Löschen (Taste DEL, DATA-), nur zulässig wenn N>0:

N––
S –= D
SQ –= D²

Daraus ergibt sich:

Mittelwert M = S/N wenn N>0
Summe der Fehlerquadrate SFQ = SQ – S²/N wenn N>0
Varianz V = √(SQ – S²/N) / N = √SFQ / N wenn N>0
Standardabweichung STA = √(SQ – S²/N) / (N-1) = √SFQ / (N-1) wenn N>1

Man beachte, wie genial sich die Summe der Fehlerquadrate berechnet!

Die Berechnung der Summe der absoluten Fehler (linear) ist nicht so einfach (= ohne Haltung der Einzeldaten) möglich!

Nach Gauß ist die Summe der Fehlerquadrate SFQ minimal, d. h. es lässt sich kein anderes M finden, welches eine kleinere Fehlerquadratsumme liefert.

Rechentechnische (Geschwindigkeits- und Integer-Bitbreiten-) Betrachtung

Bemerkenswert ist, dass man beim Einschreiben nur eine Multiplikation (Quadrieren) braucht, die gut per Tabelle realisierbar ist.
Speicherbedarf für Quadrat-Tabelle:

bits(D_max)	Speicherbedarf	Organisation
8	512 Bytes	256*WORD
10	3 KB	1024*3 Bytes (8-bit-Mikrocontroller)
10	4 KB	1024*LONG (PC)
12	12 KB	4096*3 Bytes (8-bit-Mikrocontroller)
12	16 KB	4096*LONG (PC)
16	256 KB	65536*LONG

Die Länge der Tabelle halbiert sich bei vorzeichenbehafteten Zahlen, wenn vorher der Betrag gebildet wird.
Ansonsten nur zwei Additionen.

Vorzusehende Bitbreiten

Für N: bits(N_max)
Für S: bits(D_max) + bits(N_max–1)
Für SQ: 2*bits(D_max) + bits(N_max–1), bei vorzeichenbehafteten D: 2*(bits(D_max)-1) + bits(N_max–1)

Bei Verarbeitung einer konstanten Zahlenmenge (FIFO-Speicher) bietet sich eine Zweierpotenz der Zahlenmenge an, dann ist die Division für die Summe der Fehlerquadrate eine Rechtsschiebeoperation. Pro Werteingabe braucht man alle Rechenoperationen doppelt, hat aber die Summe der Fehlerquadrate permanent verfügbar.

Anwendung

Eine günstige Anwendung des Verfahrens ist die fortlaufende Berechnung von Effektivwerten typischerweise elektrischer Wechselgrößen (Spannung, Strom).

Man kann zeigen, dass die numerische Effektivwertberechnung völlig exakt für eine Abtastrate f_s ist, wenn das zu untersuchende Signal keine Frequenzanteile über f_s/2 beinhaltet (also das altbekannte Shannonsche Abtasttheorem erfüllt wird).

Um schwankende Anzeigen durch den Abschneidefehler zu vermeiden, ist es günstig, die Abtastfrequzenz per Phasenrastschleife (PLL) auf ein Vielfaches der zu messenden Grundfrequenz festzulegen; vorzugsweise (für die Division) ein 2ⁿ-faches. Steht keine PLL zur Verfügung, kann man die Periodendauer bestimmen und jeweils durch N (Abtastwerte pro k × Periodendauer, k ∈ ℕ je nach gewünschter Aktualisierungsrate) dividieren.