Statistik mit 3 Zahlenspeichern

Wie rechnet der DDR-Taschenrechner MR610 im Statistik-Modus?

Für die Berechnung der Summe der Fehlerquadrate, der Varianz und der Standardabweichung sind folgende Summenformeln geläufig: Varianz und Standardabweichung ergeben sich also aus der Summe der Fehlerquadrate SFQ, aber weil sich der Mittelwert M bei jeder weiteren Werteingabe ändert, ändert sich auch SFQ.

Und dennoch, es genügt, für beliebig lange Zahlenkolonnen 3 Zahlen zu speichern, auf Grundlage des Verschiebungssatzes:

Die Rechenoperationen bei Hinzufügen (Taste DATA, DATA+): Die Rechenoperationen beim Löschen (Taste DEL, DATA-), nur zulässig wenn N>0: Daraus ergibt sich:

Man beachte, wie genial sich die Summe der Fehlerquadrate berechnet!

Die Berechnung der Summe der absoluten Fehler (linear) ist nicht so einfach (= ohne Haltung der Einzeldaten) möglich!

Nach Gauß ist die Summe der Fehlerquadrate SFQ minimal, d. h. es lässt sich kein anderes M finden, welches eine kleinere Fehlerquadratsumme liefert.

Rechentechnische (Geschwindigkeits- und Integer-Bitbreiten-) Betrachtung

Bemerkenswert ist, dass man beim Einschreiben nur eine Multiplikation (Quadrieren) braucht, die gut per Tabelle realisierbar ist.
Speicherbedarf für Quadrat-Tabelle:
bits(Dmax)SpeicherbedarfOrganisation
8512 Bytes256*WORD
103 KB1024*3 Bytes (8-bit-Mikrocontroller)
4 KB1024*LONG (PC)
1212 KB4096*3 Bytes (8-bit-Mikrocontroller)
16 KB4096*LONG (PC)
16256 KB65536*LONG
Die Länge der Tabelle halbiert sich bei vorzeichenbehafteten Zahlen, wenn vorher der Betrag gebildet wird.
Ansonsten nur zwei Additionen.

Vorzusehende Bitbreiten

Bei Verarbeitung einer konstanten Zahlenmenge (FIFO-Speicher) bietet sich eine Zweierpotenz der Zahlenmenge an, dann ist die Division für die Summe der Fehlerquadrate eine Rechtsschiebeoperation. Pro Werteingabe braucht man alle Rechenoperationen doppelt, hat aber die Summe der Fehlerquadrate permanent verfügbar.

Anwendung

Eine günstige Anwendung des Verfahrens ist die fortlaufende Berechnung von Effektivwerten typischerweise elektrischer Wechselgrößen (Spannung, Strom).

Man kann zeigen, dass die numerische Effektivwertberechnung völlig exakt für eine Abtastrate fs ist, wenn das zu untersuchende Signal keine Frequenzanteile über fs/2 beinhaltet (also das altbekannte Shannonsche Abtasttheorem erfüllt wird).

Um schwankende Anzeigen durch den Abschneidefehler zu vermeiden, ist es günstig, die Abtastfrequzenz per Phasenrastschleife (PLL) auf ein Vielfaches der zu messenden Grundfrequenz festzulegen; vorzugsweise (für die Division) ein 2n-faches. Steht keine PLL zur Verfügung, kann man die Periodendauer bestimmen und jeweils durch N (Abtastwerte pro k × Periodendauer, k ∈ ℕ je nach gewünschter Aktualisierungsrate) dividieren.