Vorlesungsankündigung

Ich halte im Sommersemester 2006 folgende Vorlesung (4V),
zu der alle Interessenten herzlich eingeladen sind. Raum und
Zeit werden noch bekanntgegeben.

                                                                                                      A. Böttcher
 
 

Ausgewählte Kapitel der Algebra, Analysis und Geometrie

                                                          oder

              Eine Reise in die höhere Dimension
 

1. Die Wurstvermutung
Wir machen Bekanntschaft mit höheren Dimensionen: Wie muß man eine endliche Anzahl von
n-dimensionalen Kugeln anordnen, so daß das Volumen der konvexen Hülle möglichst klein ist?

2. Einführung in die Welt der Knoten
Im vierdimensionalen Raum läßt sich jeder Knoten lösen! Im dreidimensionalen Raum hingegen
nicht: wir zeigen das für die Kleeblattschlinge über Reidemeister-Bewegungen und Dreifärbung.

3. Amphichiralität von Knoten
Der Achterknoten kann in sein Spiegelbild überführt werden. Wir beweisen, daß dies für die
Kleeblattschlinge nicht geht: Klammerpolynom und Kaufmannpolynom (und wie der
Mathematiker auch in scheinbar hoffnungslosen Situationen immer eine Rettung findet).

4. Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten
Alles steht zum besten in dieser besten aller möglichen Welten: Kugeln mit Henkeln
und eingeklebten Möbiusbändern.

5. Die Alexandersche Sphäre
Das sollte man mal gesehen (und verstanden) haben.

6. Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten
Dreimal die dreidimensionale Sphäre S^3, über das Verkleben von Polyedern, Heegaard-Zerlegung
und Heegaard-Diagramme, Linsenräume, Dehn-Chirurgie.

7. Die Poincarésche Vermutung und andere Abgründe der Dimension
Homotopiegruppen, Gruppen mit definierenden Relationen, Wortproblem und Isomorphie-
problem, Poincarésche Vermutung (bewiesen ab Dimension 4), Homöomorphieproblem
für Mannigfaltigkeiten (unentscheidbar ab Dimension 4), Erkennung der Sphäre (unentscheidbar
ab Dimension 5), Knotengruppen (Dehn, Papakyriakopoulos, Haken, Waldhausen).

8. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Differenzierbare Strukturen und Diffeomorphismen, Milnors 7-dimensionale Sphären,
R^4 versus R^n, Einbettungen und Immersionen, und (wir lassen keine Ungeheuerlichkeit aus)
über das Wenden einer Kugelfläche von innen nach außen.

9. Geometrie auf Mannigfaltigkeiten
Tangentialraum, metrischer Tensor, der sich ändernde Pythagoras, die Sphären S^2 und S^3 als
Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

10. Krümmungstensor und Einsteinsche Gleichungen
Gaußsche Krümmung von Flächen, Krümmungstensor, Christoffelsymbole, Ricci-Tensor,
Krümmungsskalar, Minkowski-Raum, 4-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeiten, Geodäten,
Grundpostulate der allgemeinen Relativitätstheorie und die Einsteinschen Gleichungen.

11. Schwarze Löcher
Schwarzschildlösung der Einsteinschen Gleichungen (mit allen Rechendetails, d.h., allgemeine
Relativitätstheorie ''zum Anfassen''), Schwarzschildradius, Reise in ein schwarzes Loch,
Interpretation der ''Integrationskonstanten''.

12. Das Universum als Ganzes
Friedmannlösungen der Einsteinschen Gleichungen und deren Interpretation: sich ausdehnender
Euklidischer Raum, pulsierende dreidimensionale Sphäre (mit ''elliptischer'' Geometrie), und
sich ausdehnende dreidimensionale Pseudosphäre (mit hyperbolischer = Lobatschewskischer
Geometrie).
 


The Mating Dance of the Alexander Horned Spheres by Tim Poston
(from:  http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/mating.html)