10. Funktionentheorie

10.1. Komplexe Differenzierbarkeit
Analytische (= holomorphe) Funktionen als komplex differenzierbare Funktionen,
Zusammenhang mit reeller Differenzierbarkeit (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
und Ableitung als Drehstreckung)

10.2. Potenzreihen
Summen von Potenzreihen sind im Konvergenzkreis analytisch und jede analytische Funktion
ist lokal als Summe einer Potenzreihe darstellbar, Nullstellen analytischer Funktionen,
Identitätssatz für analytische Funktionen

10.3. Umkehrfunktionen
Der Logarithmus im Komplexen, analytische Fortsetzung, Riemannsche Flächen, aus dem
Logarithmus abgeleitete Funktionen (z.B. Potenzfunktion)

10.4. Komplexe Integration, Integralsatz und -formel von Cauchy
Definition des komplexen Kurvenintegrals, Cauchyscher Integralsatz (über Wegunabhängigkeit)
und Cauchysche Integralformel (gibt Wert in einem Punkt aus Werten auf einer Kurve um den
Punkt herum)

10.5. Laurentreihen und Residuenkalkül
Gebiete mit Löchern, Begriff des Residuums, Residuensatz, Klassifizierung von isolierten
Singularitäten, Laurentreihen, Berechnung von Integralen mit dem Residuenkalkül

10.6. Konforme Abbildungen
Definition und Beispiele, Möbiustransformationen und Kreistreue, zweidimensionale Strömungen.
Warum fliegt ein Flugzeug?

11. Funktionalanalysis

11.1. Metrische Räume
Definitionen und Beispiele, Begriff der Konvergenz, Cauchy-Folgen, vollständige metrische Räume
und Vervollständigung, offene und abgeschlossene Mengen, Begriff der Stetigkeit

11.2. Normierte Räume und Banachräume
Definitionen und Beispiele, Vervollständigung von normierten Räumen, Banachräume, Isometrien
und isometrische Isomorphismen, stetige und beschränkte lineare Operatoren, Norm eines Operators,
invertierbare Operatoren, Spektrum und Eigenwerte, Resolvente

11.3. Räume mit Skalarprodukt und Hilberträume
Definitionen und Beispiele, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Winkelmessung und Orthogonalität,
Satz des Pythagoras, Hilberträume, Isometrien und isometrische Isomorphismen

11.4. Orthonormalbasen und Fourierreihen
Orthogonale und orthonormale Familien und Basen, separable Hilberträume, es gibt genau einen
unendlichdimensionalen separablen Hilbertraum, Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren,
Legendresche, Hermitesche und Laguerresche Polynome, das orthogonale System der trigonometrischen
Funktionen, Fourierkoeffizienten und Fourierreihen, das Problem der besten Approximation,
Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung, punktweise Konvergenz von Fourierreihen
und verwandte Probleme

11.5. Beschränkte Operatoren in Hilberträumen
Lineare Funktionale, Darstellungssatz von Riesz, adjungierter Operator, selbstadjungierte, unitäre
und normale Operatoren, Begriff der unitären Äquivalenz, endlichdimensionale und kompakte
Operatoren, Hilbert-Schmidtsche Operatoren, Fredholmsche Alternative, Diagonalisierbarkeit
von kompakten selbstadjungierten Operatoren, Fredholmoperatoren und Index

11.6. Unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen
Rolle des Definitionsgebiets, Fortsetzung von Operatoren, adjungierter Operator,
selbstadjungierte, symmetrische und wesentlich selbstadjungierte Operatoren,
Spektrum und seine Teile bei selbstadjungierten Operatoren,  Spektralsatz,
Exkurs in die Quantenmechanik:
Hamiltonoperator, Zustände, Schrödingergleichung, Bohrsches Postulat, Eigenwerte und Energie
von stationären Zuständen, Observable, Heisenbergsche Unschärferelation, Quantisierung

12. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik

12.1. Kurzer Abriß der Maßtheorie
Mengensysteme, Maße, meßbare Funktionen, Integral

12.2. Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Elementarereignisse, Ereignisse, Relationen zwischen Ereignissen, Wahrscheinlichkeit von
Ereignissen, verschiedene Beispiele zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten, bedingte
Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit von Ereignissen, totale Wahrscheinlichkeiten

12.3. Zufallsgrößen
Definition der Zufallsgröße, Verteilungsfunktion und Dichtefunktion, spezielle diskrete
Verteilungen: Zweipunktverteilung, Binomialverteilung, geometrische Verteilung,
Poissonverteilung, spezielle stetige Verteilungen: Gleichverteilung, Exponentialverteilung,
Normalverteilung

12.4. Verteilungsparameter von Zufallsgrößen
Erwartungswert, Momente, Varianz, Tschebyscheffsche Ungleichung

12.5. Grenzwertsätze
schwaches Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli, die verschiedenen Konvergenzbegriffe,
starkes Gesetz der großen Zahlen von Kolmogoroff, zentraler Grenzwertsatz

12.6. Stichproben und Schätzungen
Grundprobleme der mathematischen Statistik, Stichproben und Schätzfunktionen,
Beurteilung von Schätzfunktionen (Erwartungstreue, Konsistenz, wirksamste Schätzfunktion,
Ungleichung von Rao-Cramer), Konstruktion von Schätzfunktionen (Momentenmethode,
Maximum-Likelihood-Methode), Konfidenzintervalle

12.7. Tests
Einige für Tests bedeutsame Verteilungen (Chi-Quadrat, Studentsche t-Verteilung,
Fischersche F-Verteilung), Chi-Quadrat-Anpassungstest, t-Test, F-Test