7.4. Uneigentliche Integrale
Bei uneigentlichen Integralen ist das Integrationsintervall und/oder der Integrand unbeschränkt,
solche Integrale treten in physikalischen Anwendungen eigentlich häufiger auf als ''eigentliche''
Integrale. Sätze über die Existenz (= Konvergenz) von uneigentlichen Integralen,
Cauchyscher Hauptwert, Gamma-Funktion

7.5. Das Riemann-Sieltjes-Integral
Dieses macht das Leben leichter, wenn kontinuierliche und diskrete Grössen gleichzeitig
mitspielen

7.6. Das Lebesgue-Integral
Motivation I: der metrische Raum aller Funktionen, die im Riemannschen Sinn integrierbar sind,
ist nicht vollständig. Motivation II: Parsevalsche Gleichung und Fourierreihen im Zeit- und
Frequenzbereich (wir machen erstmals Bekanntschaft mit dem Begriff des Hilbertraums).
Grundidee der Konstruktion des Lebesgue-Integrals und etwas Masstheorie,
Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit

8. Mehrfachintegrale und Vektoranalysis

8.1. Flächen- und Volumenintegrale
Definitionen, Berechnung über iterierte Integrale, Funktionaldeterminante und
Variablensubstitution, Zylinder- und Kugelkoordinaten, uneigentliche Flächen- und
Volumenintegrale. Suche nach Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und
Integralrechnung auf Flächen- und Volumenintegrale erfordert die Einführung neuer Integrale
(über Kurven und Oberflächen) und Kärung der Frage, was man in höheren Dimensionen
unter einer Stammfunktion versteht

8.2. Kurvenintegrale

8.2.1. Kurvenintegrale 1. und 2. Art
Definition als Grenzwert gewisser Integralsummen, Interpretation von Kurvenintegralen 1. Art
als Masse und von Kurvenintegralen 2. Art als Arbeit im Kraftfeld oder Zirkulation im
Geschwindigkeitsfeld oder Spannungsabfall im elektrischen Feld. Berechnung ist einfach,
sobald wir nur eine Paramatrisierung der Kurve haben

8.2.2. Die Greensche Formel
Eine der fundamentalsten Formeln ist die Formel von Stokes, die besagt, dass das Integral
einer Differentialform über dem Rand eines Gebietes gleich dem Integral des Randes der
Differentialform über das gesamte Gebiet ist (man kann ein ''Partial'' hoch- und runterziehen).
Im eindimensionalen Fall ist die Formel von Stokes gerade der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung. Die Greensche Formel, die ein Kurvenintegral 2. Art über den Rand eines
ebenen Gebietes mit einem Flächenintegral über diese Gebiet verknüpft, ist der Spezialfall
der Formel von Stokes für zwei Dimensionen. Interpretiert man das auftretende
Kurvenintegral 2. Art geeignet, so erhält man zweidimensionale Versionen eines anderen Satzes
von Stokes (Zirkulation ist gleich Integral über die Wirbeldichte) und des Satzes von
Gauss-Ostrogradsky (Fluss ist gleich Integral über die Quelldichte).

8.2.3. Potentialfelder
Definition von Potentialfeldern (= Gradientenfeldern = konservativen Feldern) und des
Potentials, Berechnung von Kurvenintegralen über Potentiale, Bedingungen für die
Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen, Notwendigkeit der ''Integrabilitätsbedingung''
(= Symmetrie der Jacobimatrix), Hinlänglichkeit der ''Integrabilitätsbedingung'' für einfach
zusammenhängende Gebiete

8.3. Oberflächenintegrale
Glatte Flächen im Raum, Parametrisierung von Fächen, Normalenvektor, Tangentialebene,
Richtungskosinusse A,B,C und Fundamentalkoeffizienten E,F,G, Flächeninhalt von Flächen
im Raum (Vorsicht: Schwarzscher Zylinder), Orientierbarkeit von Flächen im Raum
(Vorsicht: Möbiussches Band), Definition von Oberflächenintegralen 1. und 2. Art über
geeignete Integralsummen, Formeln zur Berechnung von Oberflächenintegralen unter
Verwendung von Parametrisierungen

8.4. Vektoranalysis

8.4.1. Divergenz und Satz von Gauss-Ostrogradsky
Gauss-Ostrogradsky verbindet ein Oberflächenintegral über dem Rand eines
dreidimensionalen  Körpers mit einem Volumenintegral über diesen Körper und ist ein
Spezialfall der in 8.2.2 erwähnten allgemeinen Formel von Stokes. Physikalisch besagt der
Satz, dass der Fluss durch den Rand eines Körpers gleich dem Integral über die Quelldichte ist.

8.4.2. Rotation und Satz von Stokes
Hier geht es um einen anderen Spezialfall der in 8.2.2 erwähnten allgemeinen Formel von
Stokes, der dummerweise aber auch Satz von Stokes heisst. Dieser Satz verknüpft ein
Kurvenintegral über den Rand einer Fläche im Raum mit einem Oberflächenintegral über die
Fläche. Physikalisch bedeutet der Satz, dass die Zirkulation längs des Randes
einer Fläche im Raum gleich dem Oberflächenintegral der Wirbeldichte ist.

8.4.3. Der Hamiltonformalismus
Man führt einen Operator ''Nabla'' ein, mit dem man dann - etwas Fingerspitzengefühl und Übung
vorausgesetzt - wie mit einem gewöhnlichen Vektor rechnet

8.4.4. Wirbelfreie Felder
In einfach zusammenhängenden Gebieten ist die Theorie der wirbelfreien Felder gerade die
Theorie der Potentialfelder

8.4.5. Quellfreie Felder
Bedingungen für Quellfreiheit (= Inkompressibilität), ''Wirbel haben keine Quellen'' und
partielle Umkehrung dieser Feststellung, Vektorpotentiale

8.4.6. Harmonische Funktionen
Quell- und wirbelfreie Felder, Laplaceoperator, Beispiele von harmonischen Funktionen,
Zusammenhang zwischen harmonischen Funktionen zweier Veränderlicher und analytischen
Funktionen (= Summen von Potenzreihen)

8.5. Krummlinige Koordinaten
Gradient, Divergenz, Rotation, Zeitableitungen, und Integrale in rechtwinkligen krummlinigen
Koordinaten, Jacobische Formel für den Laplaceoperator in beliebigen krummlinigen Koordinaten

8.6. Deltafunktion und Poisson-Gleichung
Deltafunktion als Beispiel einer Distribution. Kennt man eine Funktion, für die der Laplace-Operator
die Deltafunktion ergibt, so weiss man auch eine Funktion, für die Laplace eine beliebig vorgegebene
Funktion liefert.

9. Gewöhnliche Differentialgleichungen

9.1. Allgemeines
Klassifizierung von Differentialgleichungen, Ordnung, Lösungsmannigfaltigkeit,
Anfangsbedingungen, Randbedingungen

9.2. Existenz, Eindeutigkeit und Fortsetzbarkeit der Lösung
Grundlegende Sätze, Beispiele und Gegenbeispiele, Begriff der Integralkurve

9.3. Elementar integrierbare Typen von Differentialgleichungen
Trennung der Veränderlichen, Substitutions-Tricks, exakte Differentialgleichungen,
lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

9.4. Systeme von Differentialgleichungen
Beispiele, Begriff des Phasenraums und der Phasenkurve, Sätze über Existenz, Eindeutigkeit
und Fortsetzbarkeit der Lösung

9.5. Differentialgleichungen höherer Ordnung
Beispiele, Zurückführung auf den Fall eines Systems 1. Ordnung

9.6. Lineare Systeme von Differentialgleichungen
Systematisierung (variable oder konstante Koeffizienten, homogen oder inhomogen),
Beschreibung der Lösungsmannigfaltigkeit, Exponentialfunktion von Matrizen,
Variation der Konstanten

9.7. Autonome Systeme
Phasenporträts von autonomen Systemen, Exkurs in die Welt der nichtlinearen Systeme:
Linearisierungssätze und Sätze über die Stabilität von Gleichgewichtslagen, globale Phänomene

9.8. Spezielle nichtlineare Differentialgleichungen
Airy-, Bessel-, Hermite-Funktionen und dergleichen

9.9. Eigenwertprobleme
Eigenwertprobleme für Differentialoperatoren in der Quantenmechanik und bei
Separationsansätzen für partielle Differentialgleichungen