4. Stetigkeit

4.3. Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen
Logarithmusfunktion, Potenzfunktion, Arkusfunktionen und Areafunktionen im Reellen

4.4. Asymptotische Formeln
Entmystifizierung von grossen und kleinen Oh's und dergleichen

4.5. Funktionen mehrerer Veränderlicher (Felder)
Endlichdimensionale Euklidische Räume, offene und abgeschlossene Mengen, Grenzwerte
und Richtungsgrenzwerte von Feldern, iterierte Grenzwerte, Stetigkeit

4.6. Vektorfelder
Stetigkeit von Vektorfeldern und über die Unmöglichkeit, einen Igel zu kämmen

5. Differentialrechnung

5.1. Lineare Abbildungen und ihre Matrixdarstellung
Steilkurs über lineare Operatoren in endlichdimensionalen Räumen und über Matrizen

5.2. Die Ableitung
Approximation von Vektorfeldern, Lokale Approximation durch ein konstantes Feld ist
äquivalent zur Frage der Stetigkeit, Lokale Approximation durch ein lineares Vektorfeld
führt zum Begriff der Differenzierbarkeit, Definition der Ableitung als linearer Operator,
keine Angst: für Funktionen aus R in R läuft alles auf aus der Schule Bekanntes hinaus
(geometrische Deutung als Anstieg der Tangente und physikalische Deutung als
Geschwindigkeit)

5.3. Partielle Ableitungen und Jacobimatrix
Jacobimatrix als Matrixdarstellung der Ableitung in der Standardbasis, Gradient
und ''totales Differential'', Zusammenhang zwischen der Existenz der partiellen Ableitungen
und Differenzierbarkeit

5.4. Rechenregel für Ableitungen
Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel (alles für mehrere Veränderliche)

5.5. Differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen
Lokale Minima und Maxima, stationäre Punkte, Mittelwertsatz der Differentialrechnung,
Monotonie, Ableitung der Umkehrfunktion, zweite Ableitung, Konvexität und Konkavität,
Beschleunigung, höhere Ableitungen, l'Hospitalsche Regel, die Cantorsche Treppe: mehr
als nur eine mathematische Spielerei

5.6. Taylorentwicklung
Taylorentwicklung als Verfeinerung des Linearisierungsgedankens, Taylorsche Formel mit
Restgliedern von Lagrage und Peano für Funktionen einer Veränderlichen, Konvergenz von
Taylorreihen, der Unterschied zwischen unendlich oft differenzierbaren Funktionen und
analytischen Funktionen, Bestimmung von Taylorreihen, partielle Ableitungen höherer Ordnung,
Gleichheit gemischter Ableitungen und Taylorformel für Funktionen mehrerer Veränderlicher,
Hessematrix

5.7. Skalarfelder und Gradient
Richtungsableitungen und Gradient, steilster Anstieg, lokale Minima und Maxima sowie
stationäre Punkte von Skalarfeldern, positive Definitheit der Hessematrix,
Äquipotentialflächen und Feldlinien und deren Orthogonalität

5.8. Implizite Funktionen
Nicht sehr beliebt, aber wichtig und eigentlich auch gar nicht so schwer (wer das verstanden hat,
dem macht Thermodynamik wieder Freude), Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen,
Multiplikatorenregel von Lagrange

6. Das unbestimmte Integral

6.1. Die Stammfunktion
Dieses begehrte Objekt ist eine Funktion, deren Ableitung vorgegeben ist

6.2. Grundintegrale
Dies sind Integrale, wegen derer man keine Integraltafel bemühen sollte

6.3. Integrationsregeln
Variablensubstitution, partielle Integration, Komplexifizierung

6.4. Integration rationaler Funktionen
Das geht immer, und zwar über Partialbruchzerlegung

6.5. Weitere Klassen elementar integrierbarer Funktionen
Zum Beispiel R(sin x, cos x), man sollte auch wissen, dass exp(-x*x),
sin x/x, exp(x)/x, und einige andere häufig vorkommende Funktionen
keine elementaren Stammfunktionen haben, solche Funktionen definieren
neue Funktionen, wie Fehlerfunktion oder Integralsinus
 
7. Das bestimmte Integral

7.1. Definition des Riemannschen Integrals
Das Riemannsche Integral als Grenzwert von Integralsummen, Beispiele für Funktionen,
deren Riemann-Integral nicht existiert, Funktionen mit höchstens abzählbar vielen
Unstetigkeiten

7.2. Eigenschaften des Riemannschen Integrals
Linearität, Monotonie, Mittelwertsatz der Integralrechnung, Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung, Variablensubstitution und partielle Integration bei bestimmten Integralen,
Integration von Potenzreihen

7.3. Verschiedene Anwendungen
Kurvenlänge, Krümmung ebener Kurven (Definition der Krümmung, Krümmungskreis,
Hauptsatz für ebene Kurven, Klothoiden und Strassenbau), Flächeninhalt ebener Figuren,
Volumeninhalte (und Cavalierisches Prinzip), Rotationskörper, Schwerpunkt einer Fläche,
Arbeit