14.   Formelsammlung

Es folgt eine Zusammenfassung der wichtigsten Formeln, die zur Dimensionierung der Bauteile in allen Kapiteln relevant sind.

Trafos und Drosseln allgemein

Fluss und Flussdichte

Φ = B*a bzw. Φmax = Bmax * a

Φ = magnetischer Fluss in einer Spule oder in einem Kern in Vs

Φmax = Sättigungsgrenze des magnetischen Flusses in einem Kern

B = magn. Flussdichte des Feldes in einer Spule oder in einem Kern in Tesla = Vs/m2

Bmax = Sättigungsgrenze der Feldstärke in einem Kern (Eisen ≈ 1,5 T, Ferrit ≈ 0,3 T)

a = Querschnittsfläche der Spule oder des Kernes in m2

Abschätzung der übertragbaren Leistung eines 50-Hz-Transformators mit handelsüblichen EI-Eisenkern der Kantenlänge L (Jochlänge in cm):

Pt ≈ (L/cm)3,5 * 0,038 VA

Berechnung der maximalen sinusförmigen Umlaufspannung eines Eisenkernes in V/Wdg:

Ûl = 2πf = 2πfa

f = Frequenz in Hz, a Querschnittsfläche des Eisenkernes in Quadratmeter und die maximale magnetische Feldstärke in Tesla (ca. 1,5 T bei Weicheisen)

Bei f = 50 Hz und = 1,5 T gilt:

Û1 ≈ 470 a*[V/m2] oder für die Effektivspannung Ueff ≈ 333 a*[V/m2]

(Streu)Induktivität L einer Drossel, einer zylindrischen Luftspule oder eines (Streu)Transformators:

L > µN A/l oder L = AL N2 bei bekanntem AL-Wert

Maximaler Spulenstrom bei Eintritt der Sättigung

Imax ≈ Bl/(Nµ0) (B = Sättigungsfeldstärke ca. 1,5 T bei Weicheisen und 0,3 T bei Ferrit)

oder Imax = Φmax/NAL bei bekanntem AL-Wert

induktiver Widerstand XL einer Spule
XL = 2πfL

Gespeicherte Energie WL einer Drossel oder eines Trafos:
WL = 0,5 L I 2

mit:

Berechnung der erforderlichen Übertragungsleistung eines Spartransformators:

Aufwärtsspartrafo Pt = Pa (1 − Ue/Ua)

Abwärtsspartrafo Pt = Pa (1 − Ua/Ue)

Pt = tatsächlich transformierte Leistung des Trafos

Pa = Ein-/Ausgangsleistung

Gleichrichter und Siebschaltungen

Leerlaufgleichspannung an einem Siebelko hinter einem Gleichrichter:
Umax = √2 Ueff

Drehstrombrückengleichrichter Umax = √6 Ueff

mit Ueff = Effektivspannung zwischen einer Phase und Nulleiter

Restbrummspannung am Siebelko
Ubr = Ia T/C mit: Merkregel: Bei 1 Ampere Laststrom entlädt sich ein 1000-µF-Elko mit 1 Volt/ms

Grenzfrequenz einer RC-Siebkette
ft = 1/(2πRC)

Grenzfrequenz einer LC-Siebkette
f = 1/(2π√LC)

Wandler mit Speicherdrosseln

Empfohlene Mindestschaltfrequenz f eines Abwärts- oder Inverswandlers

f = Ua2/(Ue2IaL) oder Mindestinduktivität L = Ua2/(Ue2Iaf) falls f vorgegeben ist

für |Ua| << Ue gilt

f = |Ua/(2IaL)| oder Mindestinduktivität L = |Ua|/(2Iaf) falls f vorgegeben ist

Ia = kleinster Ausgangsstrom, bei dem der Drosselstrom noch lückenlos sein soll

Empfohlene Mindestschaltfrequenz f eines Aufwärtswandlers

f = Ue2/(Ua2IeL) oder Mindestinduktivität L = Ue2/(Ua2Ief) falls f vorgegeben ist

für Ua << Ue gilt

f = Ue/(2Ie oder Mindestinduktivität L = Ue/(2Ief) falls f vorgegeben ist

Ia = kleinster Ausgangsstrom, bei dem der Drosselstrom noch lückenlos sein soll

Primär getaktete Wandler

Maximale Einschaltdauer Tmax eines Eintakt-Fluss- oder -Sperrwandlers

Tmax = N Φmax/Ub oder Tmax = L Imax/Ub

Maximale Einschaltdauer Tmax oder minimale Schaltfrequenz fmin eines Gegentaktwandlers

Wandler mit Vollbrücke oder Parallelspeisung:

Tmax = 2N Φmax/Ub bzw. fmin = 1/4 Ub/(NΦmax)

Wandler mit Halbbrücke:

Tmax = 4N Φmax/Ub bzw. fmin = 1/8 Ub/(NΦmax)

mit
Verlustleistung PS der thermischen Streufeldentsorgung eines Sperrwandlers bei Volllast

PS = 1/2 fLSImax2 mit
Maximaler primärer Kurzschlussstrom I eines ZCS-Resonanzwandlers

I ≈ UbC/2L
L/C = Induktivität/Kapazität des Schwingkreises
Ub = Versorgungsspannung der Halbbrücke

CE-Spannung am Transistor eines Eintakt-Sinuswandlers

UCE = Ub + √Ub2+Ic2L/C

Effektiver Blindstrom I im Resonanzkreis bei geringer Verzerrung

I = UbC/2L

mit

Amplitude an der Mittelanzapfung einer Resonatorspule eines Gegentakt-Sinuswandlers mit Stromzuführungsdrossel wie in Bild 11.2b abgebildet.

Um = Ub * π/2 und maximale Kollektorspannung UCE = π * Ub

Effektiver Blindstrom I = Ubπ √C/(2L)

Sonstige Wandler

Maximaler Ausgangsstrom I einer netzbetriebenen Hilfsspannungsversorgung mit vorgeschaltetem Kondensator C bei Einweggleichrichtung:

I = 2 f * C * Û und mit Brückengleichrichter I = 4 f * C * Û

Wenn die Spannung am Eingang des Brückengleichrichters für die Hauptlast abgenommen wird (siehe Bild 13.1.1c).

I = f * C * Û

mit f = Netzfrequenz (50 Hz) und Û = Scheitelwert der Netzspannung (325 V)

Maximaler Ausgangsstrom I einer Hilfsspannungsversorgung mit HF-Sinusgenerator

bei Einweggleichrichtung I = Ub/π √C/L
und Brückengleichrichtung I = 2Ub/π √C/L

mit Ub = Betriebsspannung, C und L Kapazität und Induktivität von Kondensator und Spule des Schwingkreises.

Maximaler Ausgangsstrom I eines aus einer Halbbrücke mit einer symmetrische Rechteckspannung gespeisten Hilfsspannungsgenerators (siehe Bild 13.1.2d)

I = Ub/(32fL)

mit Ub = Betriebsspannung und f = Schaltfrequenz der Halbbrücke. L = Induktivität der Vorschaltdrossel

Maximales Übersetzungsverhältnis eines idealen Tesla-Trafos (siehe Bild 13.3.2c)

Ua/Ue = √C/Ck

mit Ua = Ausgangsspannung der Teslaspule, Ue = Eingangsspannung am Primärresonator, C = Kapazität des Primärresonators und Ck = Kopfkapazität der Teslaspule.


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