So wie sich die Baseball-Regeln mit der Zeit verändert haben, und so wie man keinen Gerichtskrimi schreiben kann, bei dem sämtliche Beweise für eine Seite sprechen und das Urteil eine ausgemachte Sache ist, so ist es in der Mathematik: Die interessantesten Situationen sind die, bei denen es nicht offensichtlich ist, ob etwas möglich ist oder nicht---oder wenn sich herausstellt, daß eine Lösung existiert, wo keine erwartet worden war.
Wenn alles erlaubt ist -- wenn man zum Beispiel Löcher machen kann -- ist es offensichtlich, daß man "die Sphäre von innen nach außen wenden" kann, und Outside In wäre ein sehr kurzer Film. Die Frage wird interessanter, wenn wir die erlaubten Transformationen einschränken -- aber nicht zu sehr. Hier kommen die Regeln ins Spiel.
Am besten ist es, enn die Regeln "natürlich" sind, nicht weit hergeholt oder ersonnen. Zu sagen, daß die Fläche nicht zerrissen, durchbohrt oder geknickt werden soll, ist natürlich im Rahmen der Differentialtopologie -- ein Riß oder Knick ändert den Charakter der Fläche rigoroser als eine bloße Deformation von Rundungen.
Andererseits scheinen sich selbstüberschneidende Flächen auf den ersten Blick nicht sehr natürlich zu sein. Jedoch meine ich mit "natürlich" nicht das Vorkommen in der wirklichen Welt, sondern einigermaßen annehmbar vom Standpunkt der Analogie oder Logik aus gesehen. Selbstüberschneidende Flächen sind natürlich durch die Analogie zu Kurven, und weil ein Weg in der Mathematik Flächen zu definieren, eine Menge von Punkten im Raum ist, die einer bestimmten Gleichung genügen -- die Sphäre ist z.B. die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Ursprung gleich einer fixierten Zahl ist. Flächen, die auf diese Art gegeben sind, zeigen oft Selbstüberschneidungen; wie die folgende mit der Eigenschaft, daß für jeden Punkt der Fläche das Produkt der Abstände zu den zwei eingezeichneten parallelen Geraden das Selbe ist.
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