| |
|
X: Viel. Stell dir die Sphäre als einen Stapel Kreise vor, deformiert in eine faßähnliche Gestalt, oben und unten mit Hauben abgeschlossen. So wie wir unsere Kurven geschmeidiger machten, indem wir sie in Leitabschnitte geteilt und durch Wellen verbunden haben, teilen wir das Faß in Bezugsstreifen, die sich mit welligen Streifen abwechseln. Die Welligkeit soll am oberen und unteren Ende so aufhören, daß alles nahtlos in die Kappen übergeht.
Y: Hmm, das wird immer komplizierter...
X: Dann schauen wir uns erst einmal einen einzelnen Streifen zusammen mit den Hauben an. Beginne, die Hauben aufeinander zuzuschieben.
Y: Wenn ich die Pole durchschiebe, entsteht ein Knick!
X: Stoppe vor dem Knick, wenn der Streifen eine Schlaufe in der Mitte hat. Nun drehen wir die Hauben in entgegengesetzte Richtungen, denn wir wollen die Schlaufe in der Mitte zu einer Schraubung zwischen den Enden umwandeln.
Y: Oh, ich weiß---es ist wie bei einem Gürtel! Wenn man eine Schaufe in die Mitte macht und an den Enden fest zieht, wird die Schlaufe zu einer Schraubung!
X: Richtig. Dann kann man den Gürtel durch eine halbe Drehung beider Enden gegeneinander begradigen. Um das Umkehren zu beenden, müssen wir nur die Mitte des Leitstreifens zurück durch das Zentrum der Sphäre schieben.
Y: Hmm. Kann ich sehen, wie zwei Streifen zusammen wirken?
X: Sicher. Wie du siehst, überschneiden sich die Streifen an zwei Stellen nahe der zentralen Achse.
Y: Und die goldenen Seiten, die anfangs außen waren, zeigen nun nach innen.
X: Hier ist der gesamte Prozeß mit allen Streifen.
Y: Die Polkappen wandern nur auf und ab und drehen dann in die richtige Position. Ah, deshalb brauchen sie nicht geschwungen zu sein.
X: Exakt. Betrachten wir nun mal zwei Leitstreifen und die Ausbuchtung dazwischen, von einem Pol bis zum Äquator. Dies ist der Grundbaustein des Ganzen: Die komplette Sphäre besteht aus sechzehn rotierter Kopien dieses Stücks.
Y: Das sieht ganz schön schwierig aus.
X: Ja, aber die Ausbuchtung folgt einfach nur der Schraubung der Leitstreifen, wie du sie vorhin gesehen hast.
Y: Kann ich das von Pol zu Pol sehen?
X: Ja. Die Ausbuchtung bietet Flexibilität zwischen den Streifen, sodaß deren Bewegung keine Falten oder Knicke erzeugt; genauso wie die Wellen in der zuvor gesehenen Kurve.
Y: Laß mich mal das Ganze sehen!
X: Wir dehnen die Verbindungsstreifen zwischen zwei Leitstreifen, und schieben die Hauben aufeinander zu. Wir verdrehen die Kappen, um die mittlere Schlaufe aufzuheben, und schieben den Äquator durch die Sphäre. Schließlich machen wir die Dehnung rückgängig.
Y: Ich verstehe das immernoch nicht. Kann man das auch anders veranschaulichen?
X: O.K., wir teilen die Sphäre in dünne horizontale Bänder. Wir werden ein solches Band betrachten. Man kann sehen, wie sich der Nordpol nach unten in den Süden verschiebt. Ein Band nahe am Pol ist ziemlich harmlos: Die Leitsegmente halten ihre Position relativ zueinander, und die Furchen werden nie sehr tief. Bänder näher am Äquator sind gefährlicher, deshalb teilen wir den Bildschirm, um zu sehen, was da vor sich geht. Rechts blickt die Kamera von oben auf das Band, somit ändert sich seine sichtbare Größe nicht. Diese Draufsicht hebt die Symmetrien hervor, die die Seitenansicht (links) verbirgt, wo wir das Band im Raum sehen.
Am Äquator wird das Band nur verdreht und bewegt sich nicht auf oder ab.
Y: Moment mal. Dieses Band sieht wie die Mauer unter der Einschienenbahn aus, und es wird von innen nach außen gewendet. Du hattest mich letztendlich davon überzeugt, daß dies unmöglich ist!
X: Ich erkläre dir das nochmal. Erinnere dich, daß unsere Mauern Kreise repräsentierten und vertikal bleiben mußten. Aber hier kann sich das Band im Raum in sich verdrehen, da es Teil einer Sphäre ist. Ein anderer Weg, den Wendevorgang zu verstehen, besteht darin, die Fläche aus der Sphäre schrittweise in einigen wichtigen Stationen aufzubauen. Dies ist die Dehnungsphase... Jetzt haben wir gerade die Hauben durch einander geschoben... Dies ist die Mitte der Verdrehungsphase: wir können die komplexen Vorgänge beim Äquator sehen...
Am Ende der Verdrehungsphase sind die Ausbuchtungen fast zu Achten geworden... Hier sind wir mitten im horizontal durch das Sphärenzentrum Schieben... Letztlich zeigen wir die Glättungsphase. Die Sphäre ist nun komplett weinrot.
Y: Toll. Ich denke ich bin bereit, das Ganze nochmal zu sehen.
X: Hier kommt es!
Y: Du hattest recht: Man kann eine Sphäre von innen nach außen wenden, ohne Löcher zu stoßen oder sie zu knicken, auch wenn dies nicht für einen Kreis geht. Das ist großartig---jemand sollte ein Video über das Zeug machen!
 | Wie man eine Kurve in irgendeine andere Kurve mit gleicher Krümmungszahl verbiegt | |
 | Das Skript zu Outside In | |
 | Making Waves |