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Die Geschichte der Sphärenwendungen beginnt 1957 als Stephen Smale einen sehr allgemeinen Fakt über Immersionen von Sphären bewies [Smale 1958]. Eine Konsequenz seines Beweises ist, daß es eine Möglichkeit gibt, die Sphäre von innen nach außen zu wenden durch reguläre Homotopien.
Einige Zeit begegnete man dieser Behauptung mit Skepsis. Der Mathematiker Raoul Bott, der Smales Studienberater war und einer der Gründer der Differentialtopologie ist, erzählte Smale kategorisch, daß er falsch lag, und erläuterte, warum er dies dachte. Später wurde er davon überzeugt, daß Smales Argumentation korrekt ist, jedoch war er wie viele andere Mathematiker immernoch frustriert über die Unergründlichkeit von Smales Beweis und wollte eine direktere Sphärenumkehrung sehen.
"Im Prinzip ist es möglich, die unzähligen kleineren geometrischen Konstruktionen, wie sie im Beweis [von Smale] beschrieben werden, zu einer expliziten Visualisierung einer Umkehrung zusammen zu setzen. Diese Strategie ist fern jeder Praxis." [Francis 1987] Das wäre so, als würde man beschreiben, was mit den Zutaten eines Auflaufs geschieht, ins kleinste Detail bis auf die molekulare Ebene, und würde erwarten, daß jemand, der noch nie einen Auflauf gesehen hat, nur diesem "Rezept" folgend das Gericht anrichten kann.
1961 entwickelte Arnold Shapiro die erste explizite Umkehrung, jedoch veröffentlichte er sie nicht und gab sie nicht einer breiten Menge preis. Er erklärte sie dem französischen Mathematiker Bernard Morin, der es an seinen Landsmann René Thom weitergab. Und schließlich wurde diese Umkehrung bekannter dank Morin und George Francis und besonders ihres Artikels [Francis and Morin 1987]. Morin, der nebenbei bemerkt blind ist, und die Tatsache, daß er einer der ersten Leute war, die verstanden, wie man eine Sphäre von innen nach außen wenden kann, sind eine Anerkannung seiner Fähigkeiten und ein überzeugender Beweis, daß "Visualisierung" weit über den Sinn des Sehens hinaus geht.
Das erste Mal, daß viele Mathematiker und die breite Öffentlichkeit eine explizite Umkehrung bemerkten, war als Tony Phillips angeregt durch einen Briefwechsel mit Thom die Details von dem ausarbeitete, was er für Shapiros Umkehrung hielt (sich jedoch später als eine andere heraus stellte). Phillips veröffentlichte einen wundervoll geschriebenen Artikel im Scientific American [Phillips 1966], der auf eine breite Leserschaft angelegt war und in einer Reihe von Bildern gipfelt, die verschiedene Entwicklungsstadien zeigen. Hier ist eine seiner Originalzeichnungen:
Die Veröffentlichung dieser Bilder zerstreute den Ruf des als mysteriös und paradox angesehenen Problems; jedoch war es keine leichte Aufgabe, die fehlenden Stufen in Phillips' Bilder einzufügen und sie durch die einhergehenden Deformationen zu verfolgen. Tatsächlich ist es sehr schwer, eine komplette Vorstellung einer Umkehrung im Gedächtnis zu halten, und ein deutliches Bild ist aufgrund der vielen Flächenschichten noch schwerer zu zeichnen: Die erfolgreichsten Darstellungen von Sphärenwendungen konzentrieren sich auf lokale Ausschnitte und vertrauen darauf, daß der Betrachter die Details zusammenfügen kann. Deshalb begann man, nach einfacheren und symmetrischeren Lösungen zu suchen. Morin zum Beispiel ersann 1967 eine neue Umkehrung, die hinsichtlich der Überschneidungsanzahl einfacher war als alle Vorhergegangenen. Charles Pugh erstellte Drahtgittermodelle von verschiedenen Stadien dieser, und Nelson Max digitalisierte die Modelle und nutzte sie als Ausgangspunkt für einen Film [Max 1977]. Die Gestaltung der wendenden Sphäre übernahm Jim Blinn; hier ist ein Frame:
(Kurz nach ihrer Digitalisierung wurden Pughs Modelle vom Berkeley-Campus gestohlen, wo sie ausgestellt wurden. Sie wurden nie wieder entdeckt, jedoch leben ihre digitalen Abbilder in Max' Film fort.)
Morin selbst beschrieb seine Umkehrung in einer Reihe kurzer Notizen und in einem populären Artikel, alles meisterhaft illustriert von Jean-Pierre Petit [Morin und Petit 1978a, 1978b, 1978c, 1980]. Eine dieser Notizen enthielt erstmals algebraische Gleichungen, die für eine ausgereifte Computerdarstellung des Prozesses genutzt werden könnten.
Morin fand auch die kleinste Anzahl und Typen von "Ereignissen", die in jeder Umkehrung unvermeidbar sind. Zusammen mit François Apéry schuf er eine algebraisch-analytische Umkehrung, die nur die Minimalzahl an Ereignissen nutzt [Apéry 1992]. Er vollbrachte eine ähnliche Leistung auf dem Gebiet der Polyeder (wo die interessierenden Flächen nicht glatt sondern stückweise eben sind) durch das Wenden einer "Sphäre" aus zwanzig Dreiecksseiten in der bestmöglichen Weise [Morin 1995]. Modelle dieser Umkehrung wurden von Richard Denner erstellt und sind im Palais de la Découverte, Paris ausgestellt.
Mitte der Siebziger entwickelte Bill Thurston seine Idee der Wellen. Diese eröffnet einen neuen Weg für die Umkehrung, wie sie in Outside In beschrieben wird, kann aber auch in allgemeineren Situationen angewendet werden.