Was ist nochmal ... ?

Welches unter den folgenden Bildern zeigt eine Kurve?

Wir haben alle eine intuitive Vorstellung von Kurven, und wir kümmern uns normalerweise nicht sehr darum, wie man sie definieren kann. Aber wenn man die Untersuchungen von Kurven erst einmal begonnen hat, erkennt man, daß es viele Wege zur Formalisierung der intuitiven Auffassung. Welches ist der beste?

Die Antwort hängt vom Kontext ab. Wichtig ist, zuvor zu vereinbaren, welche Idee uns vorschwebt. Mathematiker tun dies für gewöhnlich, indem sie von ihren Betrachtungsobjekten gewisse Eigenschaften verlangen (wie "stetig" oder "glatt"), damit es leichter wird, etwas über die Objekte herauszufinden -- je mehr Verzeichnisse von Leuten mit gewissen Charakteristiken ein Shopping-Sender kauft, desto besser kann er deren Kaufverhalten vorhersagen.

Um diese Eigenschaften anzugeben, ist es günstig, sich eine Kurve als etwas vorzustellen, daß man mit einem Stift zeichnen kann. Vom Zeitpunkt an, zu dem man den Stift auf das Papier setzt, bis zum Absetzen gibt es für jeden Moment eine entsprechende Position des Stiftes. Ein Zusammenhang dieser Art wird Abbildung genannt, und mit einem Buchstaben wie f dargestellt. Eine Abbildung zeigt von einer Menge (hier das Zeitintervall, in dem die Kurve abgefahren wird) in eine andere (hier die Ebene). Zu jedem Element der Ursprungsmenge (einem Zeitpunkt) gibt die Abbildung ein Element der Zielmenge (einen Punkt der Ebene). Die Kurve ist dann die Menge aller Punkte, die vom Stift zu irgendeinem Zeitpunkt berührt wurden -- sie ist der Teil der Zielmenge, die von der Abbildung "erreicht" wird. (Somit ist die Kurve das Bild der Abbildung f vom Intervall [a, b] in den R^2. Aus dieser Sichtweise ist selbst obiges (e) eine Kurve, wobei f(t) für alle t gleich ist.)

Man sagt auch, daß f eine Parametrisierung der Kurve ist, und daß die Kurve parametrisiert ist durch ein Zahlenintervall (dem Definitionsbereich).

Ein Einwand gegen diese Sichtweise ist, daß die Parametrisierung viel mehr Informationen enthält als die Kurve, die wir auf dem Blatt sehen; Informationen, die größtenteils willkürlich sind: Wenn wir z.B. die Kurve doppelt so schnell umfahren, erhalten wir die selbe Menge von Punkten, aber die Parametrisierung ist anders. Der Weg, Extra-Informationen aufzunehmen, wird sich sogar noch als vorteilhaft erweisen; aber dennoch kann ich nur betonen, daß die Sicht als Parametrisierung nur einer der möglichen Wege ist, die intuitive Vorstellung von Kurven zu formalisieren. Das wichtigste ist, Klarheit über diese Vorstellung zu haben.

Unsere Kurven sollen immer stetig sein; damit meinen wir, daß der Stift nicht von einer Position sofort in eine andere springt. (Natürlich kann dies ein realer Stift keinesfalls tun, aber unser idealisierter Stift ist nicht Gegenstand solcher langweiligen Beschränkungen.) (Korrekterweise bezieht sich "stetig" daher auf die Parametrisierung, aber wir werden es genauso für die parametrisierte Kurve benutzen. Gleiches werden wir mit anderen Eigenschaften machen.)

Welche der obigen Kurven (a)--(g) sind stetig?

		Ein Ausschnitt aus der Topologie
		Making Waves