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Ausgewählte Kapitel der Algebra, Analysis und Geometrie
oder
Eine Reise in die höhere Dimension
gehalten im Sommersemester 2002 von
Prof. A. Böttcher
0. Melonen und Glücksspiele
Als eine kleine
Einstimmung: Warum die dümmsten Bauern die dicksten Kartof... äh Melonen haben;
und was das mit Würfeln zu tun hat.
1. Die Wurstvermutung
Wir machen
Bekanntschaft mit höheren Dimensionen: Wie muß man eine endliche Anzahl von
n-dimensionalen Kugeln anordnen, so daß das Volumen der konvexen Hülle
möglichst klein ist?
2. Einführung in die Welt der
Knoten
Im vierdimensionalen Raum läßt sich jeder Knoten
lösen! Im dreidimensionalen Raum hingegen
nicht: wir zeigen das für die
Kleeblattschlinge über Reidemeister-Bewegungen und Dreifärbung.
3. Amphichiralität von Knoten
Der Achterknoten kann in sein Spiegelbild überführt werden. Wir beweisen,
daß dies für die
Kleeblattschlinge nicht geht: Klammerpolynom und
Kaufmannpolynom (und wie der
Mathematiker auch in scheinbar hoffnungslosen
Situationen immer eine Rettung findet).
4. Zweidimensionale
Mannigfaltigkeiten
Alles steht zum besten in
dieser besten aller möglichen Welten: Kugeln mit Henkeln
und eingeklebten
Möbiusbändern.
5. Die Alexandersche Sphäre
Das
sollte man mal gesehen (und verstanden) haben.
6. Dreidimensionale
Mannigfaltigkeiten
Dreimal die dreidimensionale
Sphäre S^3, über das Verkleben von Polyedern, Heegaard-Zerlegung
und
Heegaard-Diagramme, Linsenräume, Dehn-Chirurgie.
7. Die Poincarésche Vermutung und andere
Abgründe der Dimension
Homotopiegruppen, Gruppen mit
definierenden Relationen, Wortproblem und Isomorphie-
problem, Poincarésche
Vermutung (bewiesen ab Dimension 4), Homöomorphieproblem
für
Mannigfaltigkeiten (unentscheidbar ab Dimension 4), Erkennung der Sphäre
(unentscheidbar
ab Dimension 5), Knotengruppen (Dehn, Papakyriakopoulos,
Haken, Waldhausen).
8. Differenzierbare
Mannigfaltigkeiten
Differenzierbare Strukturen
und Diffeomorphismen, Milnors 7-dimensionale Sphären,
R^4 versus R^n,
Einbettungen und Immersionen, und (wir lassen keine Ungeheuerlichkeit aus)
über das Wenden einer Kugelfläche von innen nach außen.
9. Geometrie auf
Mannigfaltigkeiten
Tangentialraum, metrischer
Tensor, der sich ändernde Pythagoras, die Sphären S^2 und S^3 als
Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
10. Krümmungstensor und Einsteinsche
Gleichungen
Gaußsche Krümmung von Flächen,
Krümmungstensor, Christoffelsymbole, Ricci-Tensor,
Krümmungsskalar,
Minkowski-Raum, 4-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeiten, Geodäten,
Grundpostulate der allgemeinen Relativitätstheorie und die Einsteinschen
Gleichungen.
11. Schwarze Löcher
Schwarzschildlösung der Einsteinschen Gleichungen (mit allen Rechendetails,
d.h., allgemeine
Relativitätstheorie ''zum Anfassen''), Schwarzschildradius,
Reise in ein schwarzes Loch,
Interpretation der ''Integrationskonstanten''.
12. Das Universum als Ganzes
Friedmannlösungen der Einsteinschen Gleichungen und deren Interpretation:
sich ausdehnender
Euklidischer Raum, pulsierende dreidimensionale Sphäre
(mit ''elliptischer'' Geometrie), und
sich ausdehnende dreidimensionale
Pseudosphäre (mit hyperbolischer = Lobatschewskischer
Geometrie).
The Mating
Dance of the Alexander Horned Spheres by Tim Poston
(from: http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/mating.html)